【題目】已知f(x)=lnx﹣x+a+1
(1)若存在 x∈(0,+∞)使得f(x)≥0成立,求a的范圍;
(2)求證:當(dāng)x>1時(shí),在(1)的條件下, 成立.

【答案】
(1)解:∵f(x)=lnx﹣x+a+1(x>0),

∴f′(x)=

∴函數(shù)在(0,1)上,f′(x)>0,在(1,+∞)上,f′(x)<0,

∴函數(shù)在x=1處取得最大值f(1)=a,

∵存在 x∈(0,+∞)使得f(x)≥0成立,

∴a≥0;


(2)證明:令g(x)=

則g′(x)=x+a﹣lnx﹣1,

∵f(x)=lnx﹣x+a+1≤f(1)=a,

∴x﹣lnx﹣1≥0,

∴g′(x)≥0

∵x>1,

∴g(x)>g(1)=0,

成立.


【解析】(1)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)在x=1處取得最大值f(1)=a,即可求a的范圍;(2)令g(x)= ,證明g′(x)≥0,即可證明.

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