Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=eax﹣x﹣1，其中a≠0．若對(duì)一切x∈R，f（x）≥0恒成立，則a的取值集合 ．

Answer 1

【答案】{1}
【解析】解：若a＜0，則對(duì)一切x＞0，∵eax＜1，∴f（x）=eax﹣x﹣1＜0，這與題設(shè)矛盾．又a≠0，故a＞0．
而f′（x）=aeax﹣1，令f′（x）=0得x= ln ，
當(dāng)x＜ ln 時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞ ln 時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x= ln ，f（x）取最小值f（ ln ）= ﹣ ln ﹣1．
于是對(duì)一切x∈R，f（x）≥0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) ﹣ ln ﹣1≥0．①
令g（t）=t﹣tlnt﹣1，（t= ）則g′（t）=﹣lnt，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；
當(dāng)t＞1時(shí)，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=1時(shí)，g（t）取最大值g（1）=1﹣1=0．
∴當(dāng)且僅當(dāng) =1，即a=1時(shí)，①式等號(hào)成立．
綜上所述，a的取值集合為{1}．
所以答案是：{1}．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．