Question

（2011•聊城一模）在2010年上海世博會期間，小紅計劃對事先選定的10個場館進行參觀，在她選定的10個場館中，有4個場館分布在A片區(qū)，3個場館分布在B片區(qū)，3個場館分布在C片區(qū)．由于參觀的人很多，在進入每個場館前都需要排隊等候，已知A片區(qū)的每個場館的排隊時間為2小時，B片區(qū)和C片區(qū)的每個場館的排隊時間都為1小時．參觀前小紅突然接到公司通知，要求她一天后務(wù)必返回，于是小紅決定從這10個場館中隨機選定3個場館進行參觀．
（Ⅰ）求小紅每個片區(qū)都參觀1個場館的概率；
（Ⅱ）設(shè)小紅排隊時間總和為ξ（小時），求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先計算出10個場館中選三個的種數(shù)，再計算出每個片區(qū)先一個的種數(shù)，利用公式求概率即可；
（Ⅱ）ξ的取值可能是3，4，5，6，分別對應(yīng)沒有參見A區(qū)，參觀一個A區(qū)場館，參觀兩個A區(qū)場館，參觀三個A區(qū)場館，依次算出每個事件的概率，列出分布列求出期望即可

解答：解：（I）從10個場館中選三個，基本事件的總數(shù)為C₁₀³=120個
小紅每個場館都參觀一個的事件包含的基本事件數(shù)為4×3×3=36
故小紅每個片區(qū)都參觀1個場館的概率為

36

120

=

3

10

（Ⅱ）ξ的取值可能是3，4，5，6，分別對應(yīng)沒有參見A區(qū)，參觀一個A區(qū)場館，參觀兩個A區(qū)場館，參觀三個A區(qū)場館，
P（ξ=3）=

2 C 3 3 +2 C 2 3 × C 1 3

C 3 10

=

1

6

P（ξ=4）=

C 1 4 × C 2 6

C 3 10

=

4×15

120

=

1

2

P（ξ=5）=

C 2 4 × C 1 6

C 3 10

=

6×6

120

=

3

10

P（ξ=6）═

C 3 4

C 3 10

=

4

120

=

1

30

所以分布列為

ξ	3	4	5	6
P	1 6	1 2	3 10	1 30

Eξ=3×

1

6

+4×

1

2

+5×

3

10

+6×

1

30

=

21

5

點評：本題考查古典概率及其計算公式以及離散型隨機變量的分布列及期望的求法公式，是概率中的典型題型．解答本題關(guān)鍵是進行正確分類，對每一類的情況正確計算，另外牢記相關(guān)公式對正確解答本題也很重要．分布列的做法，期望的公式都是記憶的重點．