Question

一個(gè)多面體的直觀圖，正（主）視圖，側(cè)（左）視圖如下所示，其中正（主）視圖、側(cè)（左）視圖為邊長(zhǎng)為a的正方形．
（1）請(qǐng)?jiān)谥付ǖ目騼?nèi)畫(huà)出多面體的俯視圖；
（2）若多面體底面對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為線段AA₁的中點(diǎn)，求證：OE∥平面A₁C₁C；
（3）求該多面體的表面積．

Answer 1

解：（1）根據(jù)多面體的直觀圖、正（主）視圖、側(cè)（左）視圖，得到俯視圖如下：
（2）證明：如圖，連接AC，BD交于O點(diǎn)，因?yàn)镋為AA₁的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，所以在△AA₁C中，OE為△AA₁C的中位線，
所以O(shè)E∥A₁C，∵OE?平面A₁C₁C，A₁C₁?平面A₁C₁C，
所以O(shè)E∥平面A₁C₁C．
（3）由三示圖可知多面體表面共包括10個(gè)面，S_ABCD=a²，，，，
所以表面積．
分析：（1）根據(jù)多面體的直觀圖、正（主）視圖、側(cè)（左）視圖，得到俯視圖．
（2）連接AC，BD交于O點(diǎn)，因?yàn)镋為AA₁的中點(diǎn)，可得OE為△AA₁C的中位線，OE∥A₁C，從而證得OE∥平面A₁C₁C．
（3）由三示圖可知多面體表面共包括10個(gè)面，S_ABCD=a²，，再求出，的值，由表面積 ，運(yùn)算求出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的三視圖，證明直線和平面平行的方法，求幾何體的表面積，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題