Question

已知是等差數(shù)列，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.令,的前項(xiàng)和.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，.
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）證明：.

Answer 1

(1) ，；(2)見解析.

試題分析：(1)首先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知建立的方程，求得，寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)一步確定等比數(shù)列的公比，求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)求得，將不等式加以轉(zhuǎn)化成，
即證：.注意到這是與自然數(shù)有關(guān)的不等式證明問題，故考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.
很明顯時(shí)，，因此用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，.
試題解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035716486623.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
則
則
解得，所以                    4分
所以，
所以                              6分
(2)由(1)知，
要證，
只需證
即證：                             8分
當(dāng)時(shí)，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，
（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左右，不等式成立
（2）假設(shè)，
則時(shí)，
時(shí)不等式成立
根據(jù)（1）（2）可知：當(dāng)時(shí)，
綜上可知：對(duì)于成立
所以                      12分