Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)G＞0使|f(x)|≤

G

100

|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f（x）為G函數(shù)．現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①f(x)=

2x2

x2-x+1

；
②f（x）=x²sinx；
③f（x）=2x（1-3^x）；
④f（x）是定義在R的奇函數(shù)，且對一切x₁，x₂，恒有|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|．
則其中是G函數(shù)的序號為

①④

．

Answer 1

分析：①x≠0時，|

f(x)

x

|=|

2x

x2-x+1

|=|

2

x+ 1 x -1

|≤2=

G

100

；
②x≠0時，|

f(x)

x

|=|xsinx|，不存在常數(shù)G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
③x≠0時，|

f(x)

x

|=|2（1-3^x）|＜2，不存在常數(shù)G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
④當(dāng)x₂=0，因|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|得到|f（x）|≤100|x|成立，這樣的G存在
即可得到結(jié)論．

解答：解：①x≠0時，|

f(x)

x

|=|

2x

x2-x+1

|=|

2

x+ 1 x -1

|≤2=

G

100

，∴G=200，x=0也成立，故①為G函數(shù)；
②x≠0時，|

f(x)

x

|=|xsinx|，不存在常數(shù)G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
③x≠0時，|

f(x)

x

|=|2（1-3^x）|＜2，不存在常數(shù)G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
④當(dāng)x₂=0，因|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|得到|f（x）|≤100|x|成立，這樣的G存在，故④正確；
故答案為：①④

點評：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考生需要有較強(qiáng)的分析問題解決問題的能力，對選支逐個加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進(jìn)行檢驗，方可得出正確結(jié)論．