Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實(shí)數(shù)，使得，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減；

當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

當(dāng)時(shí)，在上遞增；

當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

（2）證明見解析

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，分，，進(jìn)行討論，可得的單調(diào)性；

（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，，設(shè)，可得，則，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，利用其單調(diào)性可證明.

解：的定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，

所以，

當(dāng)時(shí)，令，得，令，得；

當(dāng)時(shí)，則，令，得，或，

令，得；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，則，令，得；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減；

當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

當(dāng)時(shí)，在上遞增；

當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，

此時(shí)，設(shè)，

又因?yàn)?/span>，則，

設(shè)，則

對(duì)于任意成立，

所以在上是增函數(shù)，

所以對(duì)于，有，

即，有，

因?yàn)?/span>，所以，

即，又在遞增，

所以，即.