【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC= ,AB=1,M是PB的中點(diǎn).

(1)證明:面PAD⊥面PCD;
(2)求AC與PB所成的角;
(3)求面AMC與面BMC所成二面角的大小余弦值.

【答案】
(1)證明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,

∴由三垂線定理得:CD⊥PD.

因而,CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD,PD都垂直,

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD,

∴面PAD⊥面PCD.


(2)解:過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA,且BE=CA,

則∠PBE是AC與PB所成的角.

連接AE,可知AC=CB=BE=AE= ,又AB=2,

所以四邊形ACBE為正方形.由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=a2=3b2,PB=

∴cos∠PBE=

∴AC與PB所成的角為arccos


(3)解:作AN⊥CM,垂足為N,連接BN.

在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM,故∠ANB為所求二面角的平面角

∵CB⊥AC,由三垂線定理,得CB⊥PC,

在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中,ANMC= ,

∴AN=

∴AB=2,

∴cos∠ANB= =﹣

故面AMC與面BMC所成二面角的大小余弦值為﹣


【解析】(1)證明面PAD⊥面PCD,只需證明面PCD內(nèi)的直線CD,垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線AD、PD即可;(2)過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA,且BE=CA,∠PBE是AC與PB所成的角,解直角三角形PEB求AC與PB所成的角;(3)作AN⊥CM,垂足為N,連接BN,說(shuō)明∠ANB為所求二面角的平面角,在三角形AMC中,用余弦定理求面AMC與面BMC所成二面角的大。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角,需要了解一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(兩小問(wèn)的計(jì)算結(jié)果都用分?jǐn)?shù)表示)

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