已知橢圓：經(jīng)過如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)：，，，，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d1/0/5pvkh1.png" style="vertical-align:middle;" />和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由橢圓的對(duì)稱性可知和在橢圓上。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ae/f/2tpow3.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上則和不在橢圓上。所以在橢圓上。解方程組可得的值。（Ⅱ）需討論哪個(gè)角為直角只討論和即可，因?yàn)辄c(diǎn)的位置沒有固定，和的情況相同。如當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立方程消去消去得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)，則直線垂直其斜率相乘等于，列式計(jì)算可得，則說明原點(diǎn)在的外部，符合條件，否則不符合條件舍掉。在求面積時(shí)若采用先求弦再求點(diǎn)到的距離最后求面積的方法計(jì)算過于繁瑣，所以求的面積時(shí)可用分割法，計(jì)算較簡(jiǎn)單。
試題解析：解：（Ⅰ）由知，和不在橢圓上，即橢圓經(jīng)過，，.
于是.
所以 橢圓的方程為：.                                 2分
（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，由得
.設(shè)，則，
所以

.
于是，此時(shí)，所以 直線.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ba/0/1rs6b2.png" style="vertical-align:middle;" />，故線段與軸相交于，即原點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，即原點(diǎn)在的外部，符合題設(shè).                           6分
所以

.
當(dāng)時(shí)取到最大值.                                        9分
②當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F2（1，0），點(diǎn) 在橢圓上.

（1）求橢圓方程；
（2）點(diǎn)在圓上，M在第一象限，過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

求以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線，其準(zhǔn)線方程為，過準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)做直線交拋物線于兩點(diǎn).
（1）若點(diǎn)為中點(diǎn)，求直線的方程；
（2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線：.
（1）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；
（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為直角三角形，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）過點(diǎn)，且橢圓的離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，再過作直線.證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓上的點(diǎn)到其兩焦點(diǎn)距離之和為，且過點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為的直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交于點(diǎn)，，若，求△的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)及直線，曲線是滿足下列兩個(gè)條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡：①其中是到直線的距離；②
(1) 求曲線的方程;
(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作方向向量的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求證：為定值．

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