【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若對任意,≥0恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)答案不唯一,具體見解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求出導函數(shù),分別討論≤0,>0時,的正負,即可求解。
(Ⅱ)當<0,為單調(diào)遞增函數(shù),且<0,不滿足題意
當=0,>0恒成立,滿足題意。
當>0時,=≥0恒成立,等價于≥,令,結合單調(diào)性,即可求解。
(Ⅰ)解:函數(shù)的定義域為R,.
(1)當≤0時,因為>0,所以>0,函數(shù)在(,)上單調(diào)遞增;
(2)當>0時,由>0,得>,由<0,得<,
所以,函數(shù)在(,)上單調(diào)遞減,在(,)上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)解:(1)由(Ⅰ)知,當<0時,在(,)上單調(diào)遞增,
因為>0,<0,所以存在(,0),使=0.
所以,當(,)時,<0,不合題意.
說明:當<0時,<1,則<0,≥0不恒成立.
(2)當=0時,>0恒成立;
(3)當>0時,=≥0恒成立,等價于對任意,≥恒成立,
令,則,
當(,1)時,>0,為增函數(shù);當(1,)時,<0,為
減函數(shù),所以,于是≥,所以 0<≤.
綜上,實數(shù)的取值范圍為[0,].
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【題目】在平面直角坐標系中,定義為兩點、
的“切比雪夫距離”,又設點及上任意一點,稱的最小值為點到
直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個命題:
① 對任意三點、、,都有;
② 已知點和直線,則;
③ 定點、,動點滿足(),
則點的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點;
其中真命題的個數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】已知f(x)=,g(x)=x++a,其中a為常數(shù).
(1)若g(x)≥0的解集為{x|0<x或x≥3},求a的值;
(2)若x1∈(0,+∞),x2∈[1,2]使f(x1)≤g(x2)求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】魏晉時期數(shù)學家劉徽在為《九章算術》作注時,提出利用“牟合方蓋”解決球體體積,“牟合方蓋”由完全相同的四個曲面構成,相對的兩個曲面在同一圓柱的側面上,正視圖和側視圖都是圓,每一個水平截面都是正方形,好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).二百多年后,南北朝時期數(shù)學家祖暅在前人研究的基礎上提出了《祖暅原理》:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:兩等高立方體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩立方體體積相等.如圖有一牟合方蓋,其正視圖與側視圖都是半徑為的圓,正邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線,根據(jù)祖暅原理,該牟合方蓋體積為__________.
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【題目】(多選)某中學高一年級有20個班,每班50人;高二年級有30個班,每班45人.甲就讀于高一,乙就讀于高二.學校計劃從這兩個年級中共抽取235人進行視力調(diào)查,下列說法中正確的有( )
A.應該采用分層隨機抽樣法
B.高一、高二年級應分別抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.該問題中的總體是高一、高二年級的全體學生的視力
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【題目】已知圓C過點,且與圓外切于點,過點作圓C的兩條切線PM,PN,切點為M,N.
(1)求圓C的標準方程;
(2)試問直線MN是否恒過定點?若過定點,請求出定點坐標.
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【題目】“共享單車”的出現(xiàn),為我們提供了一種新型的交通方式。某機構為了調(diào)查人們對此種交通方式的滿意度,從交通擁堵不嚴重的A城市和交通擁堵嚴重的B城市分別隨機調(diào)查了20個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,并繪制出莖葉圖如圖:
(1)根據(jù)莖葉圖,比較兩城市滿意度評分的平均值的大小及方差的大。ú灰笥嬎愠鼍唧w值,給出結論即可);
(2)若得分不低于80分,則認為該用戶對此種交通方式“認可”,否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”,請根據(jù)此樣本完成此2×2列聯(lián)表,并據(jù)此樣本分析是否有95%的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關;
A | B | 合計 | |
認可 | |||
不認可 | |||
合計 |
(3)在A,B城市對此種交通方式“認可”的用戶中按照分層抽樣的方法抽取6人,若在此6人中推薦2人參加“單車維護”志愿活動,求A城市中至少有1人的概率。
參考數(shù)據(jù)如下:(下面臨界值表供參考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式,其中)
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