Question

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，離心率為

3

2

，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1；
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）若A，B，C是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B是橢圓C的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)p是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF₁、PF₂，設(shè)∠F₁PF₂的角平分線PM交橢圓C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知可得

2b2 a =1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（II）由點(diǎn)B是橢圓C的右頂點(diǎn)，又四邊形OABC為菱形，取對(duì)角線OB的中點(diǎn)Q，則Q（1，0）．把x=1，代入橢圓的方程，解得y．即可得到|AC|．利用S_菱形OABC=

1

2

|AC|•|OB|即可得出；
（III）由角平分線的性質(zhì)可得

|PF1|

|PF2|

=

|MF1|

|F2M|

=

m+c

c-m

，由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，再利用a-c＜|PF₂|＜a+c，即可得出．

解答：解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
令x=-c，代入橢圓方程可得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

．
∵過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1，∴

2b2

a

=1，
由離心率為

3

2

，可得

c

a

=

3

2

．聯(lián)立

2b2 a =1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得

a=2b=2 c= 3

．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（II）由點(diǎn)B是橢圓C的右頂點(diǎn)，∴B（2，0）．又四邊形OABC為菱形，取對(duì)角線OB的中點(diǎn)Q，則Q（1，0）．
把x=1，代入橢圓的方程得

1

4

+y2=1，解得y=±

3

2

．
取A(1，

3

2

)，C(1，-

3

2

)．
∴|AC|=2×

3

2

=

3

．
∴S_菱形OABC=

1

2

|AC|•|OB|=

1

2

×

3

×2=

3

．
（III）由角平分線的性質(zhì)可得

|PF1|

|PF2|

=

|MF1|

|F2M|

=

m+c

c-m

=

m+ 3

3 -m

，
由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
∴

4-|PF2|

|PF2|

=

3 +m

3 -m

，解得

2

|PF2|

=

3

3 -m

．
解得|PF₂|=

2( 3 -m)

3

．
∵a-c＜|PF₂|＜a+c，
∴2-

3

＜

2( 3 -m)

3

＜2+

3

，
解得-

3

2

＜m＜

3

2

，
∴m的取值范圍是(-

3

2

，

3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、菱形的面積計(jì)算公式、角平分線的性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了計(jì)算能力，屬于難題．