Question

【題目】2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)處記錄了大年初三上午9:20～10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時(shí)間段9:20～9：40記作區(qū)間，9:40～10:00記作，10:00～10:20記作，10:20～10:40記作.比方：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.

（1）估計(jì)這600輛車在9:20～10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，記為9:20～10:00之間通過的車輛數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20～10:40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9:46～10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

Answer 1

【答案】（1）10點(diǎn)04分；（2）詳見解析；（3）819輛.

【解析】

（1）用每組中點(diǎn)值乘以頻率，然后相加，得到平均值.（2）先用分層抽樣的知識(shí)計(jì)算出量車中位于的車輛數(shù)，然后利用超幾何分布的知識(shí)計(jì)算出分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.（3）由（1）可知，計(jì)算出方差和標(biāo)準(zhǔn)差，利用正態(tài)分布的對稱性，計(jì)算出在9:46～10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛的概率，乘以得到所求車輛數(shù).

解：（1）這600輛車在9:20～10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為，即10點(diǎn)04分。

（2）結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數(shù)就是位于時(shí)間分組中在這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即，所以的可能取值為0，1，2，3，4。

所以，，，，，

所以的分布列為

	0	1	2	3	4

所以.

（3）由（1）可得，

，

所以.

估計(jì)在9:46～10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，也就是通過的車輛數(shù)，

由，得 ，

所以，估計(jì)在9:46～10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)為（輛）.