Question

已知直線l經(jīng)過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點．
（1）若點A（5，0）到l的距離為3，求l的方程；
（2）求點A（5，0）到l的距離的最大值，并求此時l的方程．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程y-1=k（x-2），先聯(lián)立兩條直線的解析式求出兩條直線的交點坐標(biāo)代入直線方程即可求出k；當(dāng)斜率不存在時，驗證是否符合題．從而得出答案．
（2）先由題意可知點A（5，0）到直線l的距離最大時即為P（2，1）與A（5，0）確定的直線與直線l垂直，根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為-1得到直線l的斜率，即可得到直線l的方程．

解答：解：（1）聯(lián)立

2x+y-5=0 x-2y=0

得交點P （2，1）．設(shè)l的方程為
y-1=k（x-2）（k存在），即 kx-y-2k+1=0          
∵

|5k-2k+1|

k2+1

=3，得（3k+1）²=9（k²+1），
即k=

4

3

，∴l(xiāng)的方程為4x-3y-5=0．
當(dāng)k不存在時，直線l：x=2，此時點A（5，0）到l的距離也為3．
∴直線l的方程為 x=2或4x-3y-5=0…（6分）
（2）由

2x+y-5=0 x-2y=0

解得交點P（2，1），
如圖，過P任作一直線l，設(shè)d為定點A到l的距離，則d≤|PA|（當(dāng)l⊥PA時等號成立）．
∴d_max=|PA|=

10

，k_PA=-

1

3

，又k_l×k_PA=-1，∴k_l=3
∴直線l的方程y-1=3（x-2）即：3x-y-5=0．…（12分）

點評：考查學(xué)生會根據(jù)兩直線方程求出交點坐標(biāo)，會根據(jù)斜率和一點坐標(biāo)求直線的一般式方程．要求學(xué)生要會靈活運用點到直線的距離公式求值，同時會利用兩直線垂直時斜率乘積為-1解決數(shù)學(xué)問題．