【題目】如圖,在四棱錐中,為等邊三角形,
(1)若點分別是線段的中點,求證:平面平面;
(2)若二面角為直二面角,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形三線合一和已知的角度和邊長關(guān)系可證得,從而可知;在利用三角形中位線可證得;根據(jù)線面平行判定定理和面面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)設(shè)交于點,利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面,從而可建立起空間直角坐標(biāo)系;利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.
(1)為等邊三角形,且是線段的中點
,
平面,平面 平面
點分別是線段的中點
平面,平面 平面
平面平面
(2)設(shè)交于點,連接
由對稱性知,為的中點,且,
二面角為直二面角 平面
不妨設(shè),則,,/p>
以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
則,,,
,,
設(shè)平面的法向量為
則,即:
令,得,
直線與平面所成角的正弦值為
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,,,.
(1)求證:平面;
(2)在棱上是否存在點,使得平面?若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.
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【題目】已知橢圓:()的離心率為,,,,的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓上的一點,直線與軸交于點,直線與軸交于點,求證:為定值.
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【題目】已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且,,則下列說法正確的是___________.
①;
②曲線在處的切線斜率最小;
③函數(shù)在存在極大值和極小值;
④在區(qū)間上至少有一個零點.
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【題目】某手機(jī)廠商在銷售200萬臺某型號手機(jī)時開展“手機(jī)碎屏險”活動、活動規(guī)則如下:用戶購買該型號手機(jī)時可選購“手機(jī)碎屏險”,保費為元,若在購機(jī)后一年內(nèi)發(fā)生碎屏可免費更換一次屏幕.該手機(jī)廠商將在這萬臺該型號手機(jī)全部銷售完畢一年后,在購買碎屏險且購機(jī)后一年內(nèi)未發(fā)生碎屏的用戶中隨機(jī)抽取名,每名用戶贈送元的紅包,為了合理確定保費的值,該手機(jī)廠商進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計后得到下表(其中表示保費為元時愿意購買該“手機(jī)碎屏險”的用戶比例);
(1)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸直線方程;
(2)通過大數(shù)據(jù)分析,在使用該型號手機(jī)的用戶中,購機(jī)后一年內(nèi)發(fā)生碎屏的比例為.已知更換一次該型號手機(jī)屏幕的費用為元,若該手機(jī)廠商要求在這次活動中因銷售該“手機(jī)碎屏險”產(chǎn)生的利潤不少于萬元,能否把保費定為5元?
x | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
y | 0.79 | 0.59 | 0.38 | 0.23 | 0.01 |
參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為,
,
參考數(shù)據(jù):表中的5個值從左到右分別記為,相應(yīng)的值分別記為,經(jīng)計算有,其中,.
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【題目】某廠家擬在2020年舉行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,某產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)萬件與年促銷費用萬元,滿足(為常數(shù)),如果不搞促銷活動,則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件,已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件,該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤(萬元)表示為年促銷費用(萬元)的函數(shù);
(2)該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?
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【題目】已知橢圓的右焦點為,設(shè)直線與軸的交點為,過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點,為線段的中點.
(1)若直線的傾斜角為,求的值;
(2)設(shè)直線交直線于點,證明:直線.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)在上的值域;
(3)若存在,使得成立,求的最大值.(其中自然常數(shù))
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【題目】一個暗箱中有形狀和大小完全相同的3只白球與2只黑球,每次從中取出一只球,取到白球得2分,取到黑球得3分.甲從暗箱中有放回地依次取出3只球.
(1)求甲三次都取得白球的概率;
(2)求甲總得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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