Question

已知函數(shù)．

⑴當(dāng)時(shí)，①若的圖象與的圖象相切于點(diǎn)，求及的值；

②在上有解，求的范圍；

⑵當(dāng)時(shí)，若在上恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）①，②時(shí)，；時(shí)， （2）時(shí)，；時(shí)，．.

【解析】

試題分析：（1）①本題為曲線切線問(wèn)題,一般從設(shè)切點(diǎn)出發(fā),利用切點(diǎn)在切線上.切點(diǎn)在曲線上,切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率三個(gè)方面建立等量關(guān)系,從而解出，②方程有解問(wèn)題，一般利用分離法，求函數(shù)值域解決.由于定義域不定，需討論極值為零的點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，這決定了單調(diào)區(qū)間,也決定了最值.（2）不等式恒成立問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，這也需要分離變量. 即，在求函數(shù)值域時(shí)，有兩個(gè)難點(diǎn)，一是判斷極值為零的點(diǎn)，二是討論極值為零的點(diǎn)是否在內(nèi).

試題解析：⑴

①， 3分

②即與在上有交點(diǎn)…4分

，時(shí)在上遞增，；

時(shí)在上遞增，在上遞減且， ……7分

時(shí)，；時(shí)， 8分

⑵即，

即在上恒成立， 9分

令，

令，則為單調(diào)減函數(shù)，且， 12分

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減， 13分

若，則在上單調(diào)遞增，

∴，∴；

若，則在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，

∴，∴ 15分

∴時(shí)，；時(shí)，． 16分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求切線，利用導(dǎo)數(shù)求最值.