Question

已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂

直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；

（3）當P不在軸上時，在曲線上是否存在兩個不同點C、D關(guān)于對稱，若存在，

求出的斜率范圍，若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  ；（Ⅱ）；

（3）在曲線上不存在兩個不同點C、D關(guān)于對稱

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運用。

（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)和直線與圓相切得到橢圓的方程。

（2）∵MP=MF₂，

∴動點M到定直線的距離等于它到定點F₁（1，0）的距離，

∴動點M的軌跡是C為l₁準線，F(xiàn)₂為焦點的拋物線可知結(jié)論。

（3）設點的坐標，利用對稱性來分析證明不存在符合題意的結(jié)論。

解：（Ⅰ）∵  

∵直線相切，

∴   ∴ 

∵橢圓C₁的方程是     

（Ⅱ）∵MP=MF₂，

∴動點M到定直線的距離等于它到定點F₁（1，0）的距離，

∴動點M的軌跡是C為l₁準線，F(xiàn)₂為焦點的拋物線  ………………6分

∴點M的軌跡C₂的方程為    …………7分

（3）顯然不與軸垂直，設 (,)， (,)，且≠，則 =．

若存在C、D關(guān)于對稱，則=-    ∵≠0，∴≠0

設線段的中點為,則=(+)=,=，

將代入方程求得：=-( -)=(-)

∵-=-≠1∴ ≠()= ∴線段的中點不在直線上．所以在曲線上不存在兩個不同點C、D關(guān)于對稱