【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(1﹣2a)x﹣lnx(a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值;
(2)若A(x1 , y1),B(x2 , y2),C(x0 , y0)是函數(shù)f(x)圖象上不同的三點(diǎn),且x0= ,試判斷f′(x0)與 之間的大小關(guān)系,并證明.

【答案】
(1)解:f′(x)=2ax+1﹣2a﹣ = .(x∈[1,2]).

①a=0,f′(x)= ,可得f′(x)≥0,∴函數(shù)f(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞增,因此x=2時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,

f(2)=2﹣ln2.

②a≠0時(shí),f′(x)=

a>0時(shí),可得f′(x)≥0,∴函數(shù)f(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞增,因此x=2時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,f(2)=2﹣ln2.

時(shí), >2,可得f′(x)≥0,∴函數(shù)f(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞增,因此x=2時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,f(2)=2﹣ln2.

時(shí),f′(x)= ,可得f′(x)≥0,∴函數(shù)f(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞增,因此x=2時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,f(2)=2﹣ln2.

時(shí),2> >1.可得x=﹣ 時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,f(﹣ )=1﹣ +ln(﹣2a).

時(shí),f′(x)= ≤0,∴函數(shù)f(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞減,因此x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,

f(1)=1﹣a.

a 時(shí),0< <1,可得f′(x)≤0,∴函數(shù)f(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞減,因此x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,f(1)=1﹣a.

綜上可得: 時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值為f(2)=2﹣ln2.

時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值f(﹣ )=1﹣ +ln(﹣2a).

a 時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,f(1)=1﹣a.


(2)解:f′(x)=2ax+1﹣2a﹣ ,f′(x0)=a(x1+x2)+1﹣2a﹣

y1﹣y2= +(1﹣2a)x1﹣lnx1﹣[a +(1﹣2a)x2﹣lnx2]=a(x1+x2)(x1﹣x2)+(1﹣2a)(x1﹣x2)+ln

=a(x1+x2)+(1﹣2a)+

∴f′(x0)﹣ =﹣ =

不妨設(shè)0<x1<x2,令

= =lnt﹣ =g(t),t>1.

則g′(t)= = >0,

∴函數(shù)g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

∴g(t)>g(1)=0.

>0,

>0.

∴f′(x0)>


【解析】(1)f′(x)=2ax+1﹣2a﹣ = .(x∈[1,2]).對(duì)a分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,即可得出.(2)f′(x)=2ax+1﹣2a﹣ ,f′(x0)=a(x1+x2)+1﹣2a﹣ .而 =a(x1+x2)+(1﹣2a)+ .作差可得f′(x0)﹣ =﹣ = .不妨設(shè)0<x1<x2 , 令 .由 = =lnt﹣ =g(t),t>1.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值,以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知點(diǎn)H(﹣1,0),點(diǎn)P在y軸上,動(dòng)點(diǎn)M滿足PH⊥PM,且直線PM與x軸交于點(diǎn)Q,Q是線段PM的中點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(2)若點(diǎn)F是曲線E的焦點(diǎn),過F的兩條直線l1 , l2關(guān)于x軸對(duì)稱,且l1交曲線E于A、C兩點(diǎn),l2交曲線E于B、D兩點(diǎn),A、D在第一象限,若四邊形ABCD的面積等于 ,求直線l1 , l2的方程.

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A.
B.
C.
D.

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【題目】某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如下表所示),規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功,否則晉級(jí)失。

晉級(jí)成功

晉級(jí)失敗

合計(jì)

16

50

合計(jì)

(Ⅰ)求圖中a的值;
(Ⅱ)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)?
(Ⅲ)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談,記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
(參考公式: ,其中n=a+b+c+d)

P(K2≥k0

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

k0

0.780

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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【題目】賭博有陷阱.某種賭博游戲每局的規(guī)則是:參與者現(xiàn)在從標(biāo)有5、6、7、8、9的相同小球中隨機(jī)摸取一個(gè),將小球上的數(shù)字作為其賭金(單位:元);隨后放回該小球,再隨機(jī)摸取兩個(gè)小球,將兩個(gè)小球上數(shù)字之差的絕對(duì)值的2倍作為其資金(單位:元).若隨機(jī)變量ξ和η分別表示參與者在每一局賭博游戲中的賭金與資金,則Eξ﹣Eη=(元).

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A.f(x)在(0, )單調(diào)遞增
B.f(x)在( , )單調(diào)遞減
C.f(x)在( , )單調(diào)遞增
D.f(x)在( ,π)單調(diào)遞增

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(Ⅱ)E是棱CC1所在直線上的一點(diǎn),若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值為 ,求CE的長(zhǎng).

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