Question

如圖，四棱錐P-ABCD底面為一直角梯形．BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：EB∥面PAD；

(Ⅱ)若PA=AD，證明：BE⊥面PDC；

(Ⅲ)若PA=AD=DC時(shí)，求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)證明：取中點(diǎn)為F，連接EF、BF

∴EF∥PD    ∴EF∥平面PAD

∵BF∥AD    ∴BF∥平面PAD

∴平面EBF∥平面PAD  ∴EB∥平面PAD

(Ⅱ)證明：∵平面EBF∥平面PAD

又CD⊥平面PAD  ∴CD⊥平面EBF，CD⊥EB  ①

∵PA⊥平面ABCD  ∴PA⊥AB

∵FB∥DA，CD⊥AD  ∴CF⊥BF

又∵PA=AD=BF，AB=DF=FC

∴△PAB≌△BFC，PB=CB

又∵E為PC的中點(diǎn)  ∴BE⊥PC  ②

由①②得BE⊥面PDC

(Ⅲ)連接AC交BF于G，作GH⊥BD于H，連接EG、EH

∵AB∥FC且AB=FC  ∴C為AC中點(diǎn)

又∵E是PC的中點(diǎn)  ∴EG∥PA

∴PA⊥面ABCD  ∴EG⊥面ABCD

由三垂線定理，知EH⊥DB，則∠EHG即為二面角E-BD-C的平面角

不妨設(shè)AB=a，則PA=AD=DC=2a

∴EG=PA=a  DF=a  DB=a  BG=a

由相似得：   ∴HG=

∴tan∠EHG=   ∴∠EHG=arctan

即二面角E-BD-C的平面角為arctan

解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP為x，y,z軸，則由圖可知A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(2a，b，0)，0(0，b，0)，P(0，0，c)，E(a，)

(Ⅰ)=    =(0,b，c)

∴          ∴BE∥面PAD

(Ⅱ)∵PA=AD   則=(2a，b，-b)，=(2a，0，0)

∴=0    =0

∴,∴BE⊥面PDG

(Ⅲ)∵PA=AD=DC

∴P(0，0，2a)，D(0，2a，0)，C(2a，2a，0)

由(Ⅱ)知E(a，a，a)，設(shè)平面BDE方程為=1，將E代入得m=-2a

∴平面BDE的一個(gè)法向量為n₁=(2，1，-1)

又面BDC的一個(gè)法向量為n₁=(0，0，2)

∴cos＜n₁,n₂＞=

∴二面角E-BD-C的平面角為arccos．