Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx．若方程f（x）=0有三個根分別為x₁、x₂、x₂，且x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，1）上單調遞減，且函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1有且僅有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件先確定0是方程f（x）=0的一個根，從而利于根與系數(shù)之間的關系求出a，b，c的關系，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．
（2）利用函數(shù)的單調性確定a的符號，利用函數(shù)在在區(qū)間（-2，1）上單調遞減，則有f（1）＜1＜f（-2），解不等式即可．

解答：解：（1）∵x=0是方程f（x）=0的一個根，且x₁x₂=-9≠0，
∴必有x₃=0，a≠0．
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-9．
f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx=x（

1

3

ax²+

1

2

bx+c），
即x₁，x₂是方程

1

3

ax²+

1

2

bx+c=0的兩個根，
則x₁+x₂=-3=-

3b

2a

，x₁x₂=-9=

3c

a

，
解得b=2a，c=-3a，
所以f （x ）=

1

3

ax³+ax²-3ax，
求導得f'（x ）=ax²+2a x-3a=a（x-1）（x+3）
①a＜0，由f'（x）＞0得，-3＜x＜1，此時在區(qū)間（-3，1）上單調遞增．
由f'（x）＜0得，x＞1或x＜-3，此時函數(shù)單調遞減，減區(qū)間為（-∞，-3）和（1，+∞）．
②a＞0，由f'（x）＞0得x＞1或x＜-3，此時函數(shù)單調遞增，增區(qū)間為（-∞，-3）和（1，+∞）．
由f'（x）＜0得，-3＜x＜1，此時在區(qū)間（-3，1）上單調遞減，減區(qū)間為（-3，1）．
（2）由（1）知，若a＜0，函數(shù)在（-3，1）上單調遞增．，此時不滿足f（x）在區(qū)間（-2，1）上單調遞減，所以a＜0不成立．
∴必有a＞0．此時f（1）=

1

3

a+a-3a=-

5

3

a＜0，f(-2)=

1

3

a(-2)3+(-2)2a-3a×(-2)=

22a

3

＞0，
∴要使函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1有且僅有一個公共點，
則只需讓f(-2)=

22a

3

＞1即可，解得a＞

3

22

．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用根與系數(shù)之間的關系確定三次函數(shù)的根的關系是解決本題的關鍵，綜合性較強，考查學生的運算能力．