Question

（本小題滿分12分）
已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記的前項(xiàng)和為，求證.

Answer 1

（1）；（2）．

本題的第二問(wèn)考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列。
（Ⅰ）先利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及S₃=12求出a₂=4；再代入2a₁，a₂，a₃+1成等比數(shù)列求出公差即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）的結(jié)論代入，直接利用數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法即可求T_n．
解：（1）∵，即，∴，所以，
又∵，，成等比數(shù)列， ∴，
即，解得，或（舍去），
∴，故；                -------------6分
（2），
∴，      ①
     ②
①②得，

∴．   ------------12分