Question

盒子內(nèi)裝有5張卡片，上面分別寫有數(shù)字1、1、2、2、2，每張卡片被取到的概率相等．先從盒子中任取1張卡片，記下它上面的數(shù)字x，然后放回盒子內(nèi)攪勻，在從盒子中任取1張卡片，記下它上面的數(shù)字y．設M=x+y，f(t)=

3

5

t2-Mt+

18

5

．
（1）求隨機變量M的分布列和數(shù)學期望；
（2）設“函數(shù)f(t)=

3

5

t2-Mt+

18

5

在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個零點”為事件A，求A的概率P（A）．

Answer 1

分析：（1）依題意，M的可能取值為2，3，4，根據(jù)獨立重復試驗的公式得到要求的各自的概率，從而得出隨機變量M的分布列和數(shù)學期望．
（2）對于不同的M值，看函數(shù)f(t)=

3

5

t2-Mt+

18

5

在區(qū)間（2，4）內(nèi)是否有且只有一個零點，從而得出事件A相當于M=3．再利用（1）的結(jié)論即可得出答案．

解答：解：（1）依題意，M的可能取值為2，3，4．
先從盒子中任取1張卡片，然后放回盒子內(nèi)攪勻，在從盒子中任取1張卡片，基本事件總數(shù)為×5=25，
當M=2時，摸出的卡片上分別寫著數(shù)學1，1．P（M=2）=

2×2

25

=

4

25

；
當M=4時，摸出的卡片上分別寫著數(shù)學2，2．P（M=4）=

3×3

25

=

9

25

；
當M=3時，P（M=3）=1-P（M=2）-P（M=4）=

12

25

．
所以M的分布列：

∴EM=2×

4

25

+3×

12

25

+4×

9

25

=

16

5

；
（2）∴M的可能取值為2，3，4．
當M=2時，f(t)=

3

5

t2-2t+

18

5

沒有零點，不符合要求；
當M=3時，f(t)=

3

5

t2-3t+

18

5

，它的零點分別是2，3，在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個零點，符合要求；
當M=4時，f(t)=

3

5

t2-4t+

18

5

，它的零點分別是

10- 46

3

，

10+ 46

3

，都不在區(qū)間（2，4）內(nèi)，不符合要求；
∴事件A相當于M=3，由（1）知，
事件A的概率P（A）=P（M=3）=

12

25

．

點評：求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．