三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的三邊，能得出三角形ABC一定是銳角三角形的條件是
④
④
（只寫(xiě)序號(hào)）
①sinA+cosA=
1
5
   ②
AB
•
BC
＜0   ③b=3，c=3
3
，B=30°   ④tanA+tanB+tanC＞0．
分析：①兩邊同時(shí)平方可得，sinAcosA=-
12
25
＜0，從而可判斷
②由
AB
•
BC
＜0 可得π-B＞
1
2
π，可得0＜B＜
1
2
π，但是角A，C的范圍無(wú)法確定
③由b=3，c=3
3
，B=30°，利用正弦定理可得，
b
sinB
=
c
sinC
可求sinC，進(jìn)而可求C，A
④利用正切的和角公式變形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化簡(jiǎn)整理．
解答：解：①由sinA+cosA=
1
5
，兩邊同時(shí)平方可得，sinAcosA=-
12
25
＜0
∴sinA＞0，cosA＜0
∴A＞
1
2
π，三角形ABC是鈍角三角形
②由
AB
•
BC
＜0 可得π-B＞
1
2
π
∴0＜B＜
1
2
π，但是角A，C的范圍無(wú)法確定
③由b=3，c=3
3
，B=30°，利用正弦定理可得，
b
sinB
=
c
sinC

∴sinC=
csinB
b
=
3
2

∵c＞b
∴C＞B=30°
∴
C=60°
A=90°
A=30°
或
C=120°
B=30°
A=30°
均不是銳角三角形
④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的內(nèi)角，故內(nèi)角都是銳角
正確的判斷有④
故答案為：④
點(diǎn)評(píng)：本題以三角形的形狀的判斷為載體，主要考查了同角平方關(guān)系、向量的夾角的定義、正弦定理及兩角和的正切公式的綜合應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在三角形ABC中，a，b，c分別表示三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊的長(zhǎng)，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數(shù)列；直線xsin2A+ysinA-a=0與xsin2B+ysinC-c=0的位置關(guān)系是（　�。�
A、重合B、相交但不平行C、垂直D、平行

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知f（x）=2
3
sinx+
sin2x
sinx

（1）求f（x）的最大值，及當(dāng)取最大值時(shí)x的取值集合．
（2）在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，對(duì)定義域內(nèi)任意x，有f（x）≤f（A），若a=
3
，求
AB
•
AC
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b，c分別是三角形ABC中角A，B，C的對(duì)邊，關(guān)于x的方程b（x2+1）+c（x2-1）-2ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)根且sinCcosA-cosCsinA=0，則△ABC的形狀為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=4
3
sin
x
2
cos
x
2
-4sin2
x
2
+2．
（1）化簡(jiǎn)f（x）并求函數(shù)的周期
（2）在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，對(duì)定義域內(nèi)任意x，有f（x）≤f（A），若a=
3
，求
AB
•
AC
的最大值．

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