已知正項數(shù)列中，其前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，，求證：；
（3）設(shè)為實數(shù)，對任意滿足成等差數(shù)列的三個不等正整數(shù) ，不等式都成立，求實數(shù)的取值范圍.

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）.

解析試題分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、錯位相減法、恒成立問題、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，法一，利用轉(zhuǎn)化已知表達式中的，證明數(shù)列為等差數(shù)列，通過，再求；法二，利用轉(zhuǎn)化，證明數(shù)列為等差數(shù)列，直接得到的通項公式；第二問，結(jié)合第一問的結(jié)論，利用錯位相減法證明不等式的右側(cè)，而，利用放縮法，得，從而證明了不等式的左邊，即得證；第三問，利用等差中項的概念得到m，n，k的關(guān)系，先將不等式都成立轉(zhuǎn)化為，則關(guān)鍵是求出的最小值，利用基本不等式求函數(shù)最值.
（1）法一：由得
當(dāng)時，，且，故        １分
當(dāng)時，，故，得，
∵正項數(shù)列，
∴
∴是首項為，公差為的等差數(shù)列.            ４分
∴  ，
∴  .                     5分
法二：
當(dāng)時，，且，故            1分
由得，
當(dāng)時，
∴ ，整理得 
∵正項數(shù)列，，
∴ ，                        4分
∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
∴  .                            5分
（2） 
∴
∴
∴兩式相減得
 
                  &n

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．
(1)求d，an；
(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝15，且a3＋1為a1＋1和a7＋1的等比中項．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式與前n項和Sn；
(2)設(shè)Tn為數(shù)列{}的前n項和，問是否存在常數(shù)m，使Tn＝m[＋]，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在等差數(shù)列中，，。
(1) 求數(shù)列的通項公式；(2) 令，求數(shù)列的前項和

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足，向量，且.
（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項公式；
（2）設(shè)，若對任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，求證：

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在無窮數(shù)列中，，對于任意，都有，. 設(shè)， 記使得成立的的最大值為.
（1）設(shè)數(shù)列為1，3，5，7，，寫出，，的值；
（2）若為等比數(shù)列，且，求的值；
（3）若為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

將數(shù)列按如圖所示的規(guī)律排成一個三角形數(shù)表，并同時滿足以下兩個條件：①各行的第一
個數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列；②從第二行起，每行各數(shù)按從左到右的順序都構(gòu)成公比為的等比數(shù)列.若，，.

（1）求的值；
（2）求第行各數(shù)的和.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是各項為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，成等差數(shù)列，又．
（1）證明：為等比數(shù)列；
（2）如果數(shù)列前3項的和為，求數(shù)列的首項和公差；
（3）在（2）小題的前題下，令為數(shù)列的前項和，求．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案