已知f（A，B）=sin22A+cos22B-
3
sin2A-cos2B+2．
（1）設△ABC的三內角為A、B、C，求f（A，B）取得最小值時，C的值；
（2）當A+B=
π
2
且A、B∈R時，y=f（A，B）的圖象按向量
p
平移后得到函數(shù)y=2cos2A的圖象，求滿足上述條件的一個向量p．
分析：（1）先對f（A，B）進行配方，然后可確定當sin2A-
3
2
=0、cos2B-
1
2
=0時f（A，B）取最小值，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質可得到A、B、C的值．
（2）因為A+B=
π
2
可得到2B=π-2A，然后將f（A，B）中的B用A替換得到關于A的函數(shù)，再由三角函數(shù)按向量平移的原則可得到向量
p
的坐標．
解答：解：（1）f（A，B）=（sin2A-
3
2
）2+（cos2B-
1
2
）2+1，
由題意
sin2A=
3
2
cos2B=
1
2
得
A=
π
6
或A=
π
3
B=
π
6
.

∴C=
2π
3
或C=
π
2
．
（2）∵A+B=
π
2
，∴2B=π-2A，cos2B=-cos2A．
∴f（A，B）=cos2A-
3
sin2A+3=2cos（2A+
π
3
）+3=2cos2（A+
π
6
）+3．
從而向量
p
=（
π
6
，-3）（只要寫出一個符合條件的向量p即可）．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的基本性質和誘導公式的應用．三角函數(shù)部分公式比較多，要強化記憶．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sin2ω+2cos2ωx-1（ω＞0）的最小正周期為2π．
（1）當x∈R時，求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，三內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知f（A）=1，a=2
7
，sinB=2sinC，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M={a，b，-（a+b）}，a∈R，b∈R，，集合P={1，0，-1}，映射f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍為x，則以a，b為坐標的點組成的集合S有子集
64
64
個．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M={a，b，-（a+b）}，a∈R，b∈R，，集合P={1，0，-1}，映射f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍為x，則以a，b為坐標的點組成的集合S有元素（　　）個．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•上海）定義向量
OM
=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為
OM
=（a，b）（其中O為坐標原點）．記平面內所有向量的“相伴函數(shù)”構成的集合為S．
（1）設g（x）=3sin（x+
π
2
）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點，向量
OM
的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x0處取得最大值．當點M在圓C上運動時，求tan2x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(coswx，sinwx)，
n
=(coswx，
3
coswx)，其中0＜w＜2，函數(shù)f(x)=
m
n
-
1
2
，直線x=
π
6
為其圖象的一條對稱軸．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達式及其單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知f(
A
2
)=1，b=2，S△ABC=2
3
，求a值．

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