Question

【題目】對(duì)于定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，若同時(shí)滿足下列條件：

①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

②存在區(qū)間，使在上的值域?yàn)?/span>；

那么把叫閉函數(shù)．

（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；

（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說(shuō)明理由；

(3)若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)的范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于的方程組，解出即可；

（2）將變形，得到的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)閉函數(shù)的定義，判定即可得到答案；

（3）根據(jù)閉函數(shù)的定義得到方程由兩個(gè)不等的實(shí)根，通過(guò)討論，得到關(guān)于的不等式組，即可求解.

（1）由題意， 在 上遞減，則，解得，

所以，所求的區(qū)間為.

（2）在 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)在定義域上不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)

（3）若 是閉函數(shù)，則存在區(qū)間 ，在區(qū)間上，

函數(shù)的值域?yàn)?/span>即 ，

所以為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

當(dāng)時(shí)，有，解得

當(dāng) 時(shí)，有，此不等式組無(wú)解．

綜上所述， .