Question

設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，記方程有兩不等實(shí)根為事件A，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根記為事件B，求事件A+B的概率
（Ⅱ）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)古典概型，由分步計(jì)數(shù)原理知基本事件共12個(gè)，方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的充要條件為a＞b，滿足條件的事件中包含6個(gè)基本事件，由古典概型公式得到事件A發(fā)生的概率，同理可得出事件B發(fā)生的概率，最后利用互斥事件的加法公式即可求出結(jié)果．
（2）本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部約束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．根據(jù)幾何概型公式得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，總的基本事件有：
（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、
（2，0）、（2，1）、（2，2）、（3，0）、（3，1）、（3，2）共有12個(gè)…（1分）
事件A發(fā)生，要求△=4a²-4b²＞0，即a²＞b²，
符合的基本事件有（1，0）、（2，0）、
（2，1）、（3，0）、（3，1）、（3，2），共6個(gè)…（2分）
故P（A）=

6

12

=

1

2

…（3分）
事件B發(fā)生要求△=4a²-4b²＜0，即a²＜b²，符合的基本事件有：（0，1）、（0，2）、
（1，2）共3個(gè)…（4分）
故P（B）=

3

12

=

1

4

…（5分）
又事件A、B互斥，
∴P（A+B）=P（A）+P（B）=

3

4

…（6分）
（Ⅱ）試驗(yàn)的全部約束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率為=

3×2-  1 2 ×22

3×2

=

2

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的高考時(shí)常以選擇和填空出現(xiàn)，有時(shí)文科會(huì)考這種類(lèi)型的解答題．