Question

請考生注意：重點高中學生做（2）（3）．一般高中學生只做（1）（2）．
已知函數(shù)f(x)=(1-a)x-lnx-

a

x

-1(a∈R)
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當a＞0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當a=

3

4

時，設(shè)g（x）=x²-bx+1，若對任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，即可求得a的值；
（2）若a=1時，利用導(dǎo)數(shù)的正負可得y=f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)；
若a≠1時，令f′（x）=0，可得x₁=1，x₂=

a

1-a

，結(jié)合函數(shù)的定義域分類討論，即可求得結(jié)論；
（3）當a=

3

4

時，f（x）在（0，2]的最大值為f（1）=-

3

2

，若對任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），等價于函數(shù)f（x）在（0，2]的最大值-

3

2

不大于g（x）在[1，2]的最大值，利用配方法確定函數(shù)g（x）=x²-bx+1在[1，2]上的最大值，即可得到實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=(1-a)x-lnx-

a

x

-1(a∈R)
∴f′（x）=

(1-a)x2-x+a

x2

(x＞0)
∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，
∴f′（1）=f′（3），
∴0=

6-8a

9

∴6-8a=0
∴a=

3

4

；
（2）若a=1時，f′(x)=-

x-1

x2

，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)；
若a≠1時，令f′（x）=0，可得x₁=1，x₂=

a

1-a

①若

a

1-a

≤0，則a≥1，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)；
②若

a

1-a

＞0，即0＜a＜1時
（Ⅰ）0＜a＜

1

2

時，

a

1-a

＜1，在（0，

a

1-a

），（1，+∞）上為增函數(shù)，在（

a

1-a

，1）上為減函數(shù)
（Ⅱ）

1

2

＜a＜1時，在（0，1），（

a

1-a

，+∞）上為增函數(shù)，在（1，

a

1-a

）上為減函數(shù)
（Ⅲ）a=

1

2

時，f′（x）＞0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上恒為增函數(shù)．
（3）當a=

3

4

時，由（1）知，函數(shù)f(x)=

1

4

x-lnx-

3

4x

-1在 （0，1）是增函數(shù)，在（1，2）是減函數(shù)
∴f（x）在（0，2]的最大值為f（1）=-

3

2

若對任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），等價于函數(shù)f（x）在（0，2]的最大值-

3

2

不大于g（x）在[1，2]的最大值
下面求g（x）=x²-bx+1在[1，2]上的最大值
∵g（x）=x²-bx+1的對稱軸是直線x=

b

2

①當

b

2

≤

3

2

，即b≤3時，g（x）在[1，2]為增函數(shù)，則g（x）_max=g（2）=5-2b，
∴-

3

2

≤5-2b，∴b≤

13

4

，滿足b≤3；
②當

b

2

＞

3

2

，即b＞3時，g（x）在[1，2]為減函數(shù)，則g（x）_max=g（1）=2-b，
∴-

3

2

≤2-b，∴b≤

7

2

，∴3＜b≤

7

2

，
綜上，實數(shù)b的取值范圍為b≤

7

2

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．