Question

某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到2009年底全縣的綠化率已達30%。從2010年開始，每年將出現這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。

（1）設全縣面積為1，2001年底綠化面積為a₁＝，經過n年綠化總面積為a_n+1。
求證：a_n+1＝+a_n

（2）至少需要多少年(年取整數，lg2＝0.3010)的努力，才能使全縣的綠化率達到60%？

Answer 1

（1）略

（2）最少需要經過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%

(1)證明：由已知可得a_n確定后，a_n＋1表示如下：a_n＋1= a_n(1－4%)＋(1－a_n)16%
即a_n＋1="80%" a_n +16%=a_n +
(2)解：由a_n＋1=a_n+可得：
a_n＋1－=(a_n－)=()²(a_n－1－)=…=()ⁿ(a₁－)
故有a_n＋1＝－()ⁿ＋，若a_n＋1≥，則有－()ⁿ＋≥即≥()^n－1
兩邊同時取對數可得－lg2≥(n－1)(2lg2－lg5)＝(n－1)(3lg2－1)
故n≥＋1＞4，故使得上式成立的最小n∈N_＋為5，
故最少需要經過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%.