Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，過F作直線交橢圓C于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)．
（I）設(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求M的軌跡方程；
（II）設(shè)N是l上的任一點(diǎn)，求證：∠PNQ＜90°．

Answer 1

解：（1）設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題設(shè)知．由，知M為PQ之中點(diǎn)，∴又P、Q在橢圓C上，則，．當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，兩式相減，得，即，又，所以，化簡得．
當(dāng)x₁=x₂時(shí)，即PQ垂直于x軸時(shí)，此時(shí)M的坐標(biāo)為（），也是滿足上式．故所求的軌跡方程為．
（II）過P、Q及PQ之中點(diǎn)R，分別作右準(zhǔn)線l的垂線PP₁，QQ₁，RR₁，垂足為P₁，Q，R₁，由橢圓的定義，知，∴．
又，
所以以PQ為直徑的圓與l相離，所以N在以PQ為直徑的圓外，所以∠PNQ＜90°．
分析：（1）設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題設(shè)知．由，知M為PQ之中點(diǎn)，知，由P、Q在橢圓C上，有，．由點(diǎn)差法能夠得到所求的軌跡方程．
（II）過P、Q及PQ之中點(diǎn)R，分別作右準(zhǔn)線l的垂線PP₁，QQ₁，RR₁，垂足為P₁，Q，R₁，由橢圓的定義，知，故．由此能夠證明∠PNQ＜90°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查M的軌跡方程的求法和證明∠PNQ＜90°．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．