Question

已知圓C₁：x²+y²=4與直線l：3x+4y-5=0交于A，B兩點(diǎn)，若圓C₂的圓心在線段AB上，且圓C₂與圓C₁相切，切點(diǎn)在圓C₁的劣弧

AB

上，則圓C₂的最大面積為為

π

．

Answer 1

分析：先根據(jù)圓C₁的方程找出圓心坐標(biāo)與半徑R的值，找出圓C₂的半徑的最大時的情況：當(dāng)圓c₂的圓心Q為線段AB的中點(diǎn)時，圓c₂與圓C₁相切，切點(diǎn)在圓C₁的劣弧

AB

上，設(shè)切點(diǎn)為P，此時圓C₂的半徑r的最大．求r的方法是，聯(lián)立直線與圓的方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出Q的橫坐標(biāo)，把Q的橫坐標(biāo)代入直線方程即可求出Q的縱坐標(biāo)，得到Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心的距離OQ等于d，然后根據(jù)兩圓內(nèi)切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減可得圓C₂的半徑最大值．

解答：解：由圓C₁：x²+y²=4，可得圓心O（0，0），半徑R=2
如圖，當(dāng)圓c₂的圓心Q為線段AB的中點(diǎn)時，圓c₂與圓C₁相切，切點(diǎn)在圓C₁的劣弧

AB

上，設(shè)切點(diǎn)為P，此時圓C₂的半徑r的最大．
聯(lián)立直線與圓的方程得

3x+4y-5=0 x2+y2=4

，消去y得到25x²-30x-39=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

6

5

，所以線段AB的中點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為

3

5

，把x=

3

5

代入直線方程中解得y=

4

5

，
所以Q（

3

5

，

4

5

），則兩圓心之間的距離OQ=d=

( 3 5 -0)2+( 4 5 -0)2

=1，
因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，所以圓c₂的最大半徑r=R-d=2-1=1，
則圓C₂的最大面積為為π．
故答案為：π

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，做題時掌握兩圓內(nèi)切時兩半徑所滿足的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值．