Question

已知二次函數(shù)f(x)=

a

2

x2-x-a(a＞0)
（I）若f（x）滿足條件f（1-x）=f（1+x），試求f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[

2

，2]上的最小值為h（a），試求h（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先利用條件得對稱軸方程求得a，即可求 f（x）的解析式；
（II）由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對稱軸的位置有關(guān)，于是需要對對稱軸的位置進(jìn)行分類討論．

解答：解：（I）∵f（x）滿足條件f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）圖象的對稱軸是x=1，
即：

1

a

=1，a=1，∴f（x）的解析式為：

1

2

x²-x-1；
（II）∵f（x）圖象的對稱軸是x=

1

a

＞0，
①當(dāng)0＜

1

a

＜

2

時，即a＞

2

2

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

2

，2]上為增函數(shù)
當(dāng)x=

2

時，該函數(shù)取最小值h（a）=-

2

；
②當(dāng)

2

≤

1

a

≤2時，即

1

2

≤a≤

2

2

時，
當(dāng)x=

1

a

時，該函數(shù)取最小值h（a）=-

1

2a

-a；
③當(dāng)

1

a

＞2時，即a＜

1

2

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

2

，2]上為減函數(shù)
當(dāng)x=2時，該函數(shù)取最小值h（a）=a-2；
綜上，函數(shù)的最小值為 h(a)=

a-2 a＜ 1 2 - 1 2a -a  1 2 ≤a≤ 2 2   - 2 ，a＞ 2 2

（8分）
當(dāng)a=

1

2

時h（a）_max=

3

2

（12分）

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，考查學(xué)生的分類討論思想，二次函數(shù)最值問題的求解，考查學(xué)生最值問題的求法．