【題目】已知函數(shù),其定義域為.(其中常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求函數(shù)的遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)為定義域上的增函數(shù),且,證明: .
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】
(1)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由題意,問題轉(zhuǎn)化為,令,,
即證,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可作出證明.
(1)易知,
①若,由解得,∴函數(shù)的遞增區(qū)間為;
②若,則
1 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為和;
③若,則,∴函數(shù)的遞增區(qū)間為;
④若,則
1 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為和;
綜上,若,的遞增區(qū)間為;
若,的遞增區(qū)間為和;
若,函數(shù)的遞增區(qū)間為;
若,函數(shù)的遞增區(qū)間為和.
(2)∵函數(shù)為上的增函數(shù),∴,即,
注意到,故,
∴不妨設(shè),
欲證,只需證,只需證,
即證,即證,
令,,只需證,
∴ ,
下證,即證,
由熟知的不等式可知,
當(dāng)時,即,
∴ ,
易知當(dāng)時,,∴,
∴,
∴,即單調(diào)遞增,即,從而得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若在上有解,求的取值范圍;
(3)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)的零點(diǎn)為,則點(diǎn)恰好就是該函數(shù)的對稱中心.試求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=x2+acosx+bx,非空數(shù)集A={x|f(x)=0},B={x|f(f(x))=0},已知A=B,則參數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合為_____;參數(shù)b的所有取值構(gòu)成的集合為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為2的正方形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,∠PDA=45°,E,F分別為AB,PC的中點(diǎn).
(1)證明:EF∥平面PAD;
(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)H,使平面PAH⊥平面DEF?若存在,求此時二面角C﹣HD﹣P的平面角的正切值:若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓C:1(a>b>0)的離心率為,短軸長為2,直線l與圓O:x2+y2相切,且與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,為橢圓的左右焦點(diǎn),在以為圓心,1為半徑的圓上,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),過與垂直的直線交圓于,兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著新政策的實施,海淘免稅時代于2016年4月8日正式結(jié)束,新政策實施后,海外購物的費(fèi)用可能會增加.為了解新制度對海淘的影響,某記者調(diào)查了身邊喜歡海淘的10位朋友,其態(tài)度共有兩類:第一類是會降低海淘數(shù)量,共有4人,第二類是不會降低海淘數(shù)量,共有6人.若該記者計劃從這10人中隨機(jī)選取5人按順序進(jìn)行采訪,則“第一類”的人數(shù)多于“第二類”,且采訪中“第二類”不連續(xù)進(jìn)行的不同采訪順序有( )
A.3840B.5040C.6020D.7200
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線與直線交于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1),求.
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