Question

已知集合，
具有性質：對任意的，至少有一個屬于.
（1）分別判斷集合與是否具有性質；
（2）求證：①；
②；
（3）當或時集合中的數(shù)列是否一定成等差數(shù)列?說明理由.

Answer 1

（1）有 ,沒有；（2）證明見解析；（3）時，是等差數(shù)列，時，不一定.

試題分析：（1）對于具體的集合，我們根據(jù)定義直接驗證即可，如集合，
均屬于集合，故個有性質，而集合，均不屬于，則不具有性質；（2）易證，等式變形得，聯(lián)想到等差數(shù)列的前項和求法，是不是有（這是成立的），（？），（？），…，由于，故，從而可看出只能是，，，…，，即成立，②式得證；（3）如果答案是肯定的，必須證明，如果答案是不確定的，則要舉例說明，時，集合具有性質，但不是等差數(shù)列，和時，具有性質的集合中的數(shù)列是等差數(shù)列，時易證，首先，然后，即，故成等差，時，難一點，由（2）知，兩式相減可得，而由于，即，則有，注意到，于是，又有，故數(shù)列是等差數(shù)列，
試題解析：（1）∵≒∴集合具有性質，
，，集合不具有性質.     3分
（2）由已知，，
則，仍由知；     5分

，，
     6分
將上述各式兩邊相加得
，即；     8分
（3）當時，集合中的數(shù)列一定是等差數(shù)列.
由（2）知，且，
故，而這里，反之若不然
這與集合中元素互異矛盾，只能，即
成等差數(shù)列．     9分
當時，集合中的元素不一定是等差數(shù)列.
如，中元素成等差數(shù)列，
又如，中元素不成等差數(shù)列；     11分
當5時，集合中的元素一定成等差數(shù)列
證明：
令①②
②①有，且由①
，  
，
又，
成等差數(shù)列．     13分