【題目】已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且過(guò),直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(,兩點(diǎn)不是左右頂點(diǎn)),若直線的斜率為時(shí),弦的中點(diǎn)在直線上.
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)若以,兩點(diǎn)為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),則直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) 橢圓的方程為:;(2)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)根據(jù)斜率公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,,再由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程利用點(diǎn)差法得,因此可得,最后與在橢圓上聯(lián)立方程組解得,(2)根據(jù)以,兩點(diǎn)為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),得,設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得,解得或,即得定點(diǎn),最后驗(yàn)證斜率不存在的情形也滿足.
(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,
由題意直線的斜率為,弦的中點(diǎn)在直線上,得,,
再根據(jù)作差變形得 ,所以,又因?yàn)闄E圓過(guò)得到,
所以橢圓的方程為:.
(Ⅱ)由題意可得橢圓右頂點(diǎn),
⑴當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)直線的方程為,此時(shí)要使以,兩點(diǎn)為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)則有以解得或(舍)此時(shí)直線為
⑵當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,則有,
化簡(jiǎn)得①
聯(lián)立直線和橢圓方程得,
, ②
把②代入①得
即
,得或此時(shí)直線過(guò)或(舍)
綜上所述直線過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息.設(shè)原信息為,傳輸信息為,其中, , 運(yùn)算規(guī)則為: , , , .例如:原信息為111,則傳輸信息為01111.傳輸信息在傳輸過(guò)程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò),則下列接收信息出錯(cuò)的是( )
A. 01100 B. 11010 C. 10110 D. 11000
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(I)若函數(shù)處取得極值,求實(shí)數(shù)的值;并求此時(shí)上的最大值;
(Ⅱ)若函數(shù)不存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明:
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,,直線:(為參數(shù),).
(Ⅰ)求直線的普通方程;
(Ⅱ)在曲線上求一點(diǎn),使它到直線的距離最短,并求出點(diǎn)的極坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新鮮的荔枝很好吃,但摘下后容易變黑,影響賣相.某大型超市進(jìn)行扶貧工作,按計(jì)劃每年六月從精準(zhǔn)扶貧戶中訂購(gòu)荔枝,每天進(jìn)貨量相同且每公斤20元,售價(jià)為每公斤24元,未售完的荔枝降價(jià)處理,以每公斤16元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年情況,每天需求量與當(dāng)天平均氣溫有關(guān).如果平均氣溫不低于25攝氏度,需求量為公斤;如果平均氣溫位于攝氏度,需求量為公斤;如果平均氣溫位于攝氏度,需求量為公斤;如果平均氣溫低于15攝氏度,需求量為公斤.為了確定6月1日到30日的訂購(gòu)數(shù)量,統(tǒng)計(jì)了前三年6月1日到30日各天的平均氣溫?cái)?shù)據(jù),得到如圖所示的頻數(shù)分布表:
平均氣溫 | ||||||
天數(shù) | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
(Ⅰ)假設(shè)該商場(chǎng)在這90天內(nèi)每天進(jìn)貨100公斤,求這90天荔枝每天為該商場(chǎng)帶來(lái)的平均利潤(rùn)(結(jié)果取整數(shù));
(Ⅱ)若該商場(chǎng)每天進(jìn)貨量為200公斤,以這90天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天該商場(chǎng)不虧損的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2022年第24屆冬奧會(huì)將在中國(guó)北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會(huì),某大學(xué)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生,對(duì)是否收看第23屆平昌冬奧會(huì)開(kāi)幕式情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),能否有的把握認(rèn)為,是否收看開(kāi)幕式與性別有關(guān)?
(2)現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查且收看了開(kāi)幕式的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法選取8人,參加2022年北京冬奧會(huì)志愿者宣傳活動(dòng).若從這8人中隨機(jī)選取2人到校廣播站開(kāi)展冬奧會(huì)及冰雪項(xiàng)目宣傳介紹,求恰好選到一名男生一名女生的概率.
附: ,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】針對(duì)某地區(qū)的一種傳染病與飲用水進(jìn)行抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn):飲用干凈水得病5人,不得病50人;飲用不干凈水得病9人,不得病22人。
(1)作出2×2列聯(lián)表
(2)能否有90%的把握認(rèn)為該地區(qū)中得傳染病與飲用水有關(guān)?
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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