設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在拋物線上．設(shè)動(dòng)直線與拋物線相切于點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）證明：圓與軸必有公共點(diǎn)；
（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)，使得圓恒過點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（1）1   （2）見解析    （3）存在，

解析試題分析：（1）由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得FA的中點(diǎn)，由中點(diǎn)在拋物線上求得p的值；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由直線和拋物線相切求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求得Q的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示），求得PQ的中點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出圓心到x軸的距離，求出，由半徑的平方與圓心到x軸的距離的平方差的符號(hào)判斷圓C與x軸的位置關(guān)系；
（3）法一、假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，設(shè)出M的坐標(biāo)，結(jié)合（2）中求得的P，Q的坐標(biāo)，求出向量 的坐標(biāo)，由恒成立求解點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程得，解得．
（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準(zhǔn)線方程為
由得方程，
由直線與拋物線相切，得      
且，從而，即，       
由，解得，         
∴的中點(diǎn)的坐標(biāo)為
圓心到軸距離，
 
∵ 
所圓與軸總有公共點(diǎn)．
（3）假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)滿足條件，由拋物線對(duì)稱性知點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
由（2）知，
∴  。
由得，
所以，即或
所以平面上存在定點(diǎn)，使得圓恒過點(diǎn)．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)M、N為拋物線C：y＝x2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M、N分別作拋物線C的切線l1、l2，與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且l1與l2相交于點(diǎn)P，若|AB|＝1．

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)求證：△MNP的面積為一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值．

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設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知=.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與該圓相切與點(diǎn)M，=.求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，拋物線分別以A,B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，與相交于直線上一點(diǎn)P.
（1）求橢圓C及拋物線的方程；
（2）若動(dòng)直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N，已知點(diǎn)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知兩條拋物線和，過原點(diǎn)的兩條直線和，與分別交于兩點(diǎn)，與分別交于兩點(diǎn).
（1）證明：
（2）過原點(diǎn)作直線（異于，）與分別交于兩點(diǎn).記與的面積分別為與,求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓的方程為，定直線的方程為．動(dòng)圓與圓外切，且與直線相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（2）直線與軌跡相切于第一象限的點(diǎn), 過點(diǎn)作直線的垂線恰好經(jīng)過點(diǎn)，并交軌跡于異于點(diǎn)的點(diǎn)，求直線的方程及的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵已知過點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)度。.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

過拋物線C：上的點(diǎn)M分別向C的準(zhǔn)線和x軸作垂線，兩條垂線及C的準(zhǔn)線和x軸圍成邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)M在第一象限.
（1）求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且直線AB過點(diǎn)（0，-1），求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知過點(diǎn)的直線與該橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，試問：在直線上是否存在點(diǎn)P，使得是正三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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