(2012•河南模擬)已知函數(shù)f(x)=e-kx(x2+x-
1k
)(k<0)

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)k,使得函數(shù)f(x)的極大值等于3e-2?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.
分析:(Ⅰ)確定函數(shù)f(x)的定義域,求導(dǎo)函數(shù),并分解 f'(x)=-e-kx(kx-2)(x+1)(k<0),對(duì)f'(x)=0的兩個(gè)根的大小進(jìn)行比較,分類(lèi)討論:k=-2時(shí),f'(x)=2e2x(x+1)2≥0;當(dāng)-2<k<0時(shí),
2
k
<-1
;當(dāng)k<-2時(shí),
2
k
>-1
,從而可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)k=-1時(shí),f(x)的極大值等于3e-2.按照(Ⅰ)的分類(lèi)討論方法,當(dāng)k=-2時(shí),f(x)無(wú)極大值;當(dāng)-2<k<0時(shí),f(x)的極大值為f(
2
k
)=e-2(
4
k2
+
1
k
)
,可得 k=-1;當(dāng)k<-2時(shí),f(x)的極大值不可能等于3e-2
解答:解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)镽.f′(x)=-ke-kx(x2+x-
1
k
)+e-kx(2x+1)=e-kx[-kx2+(2-k)x+2]
,
即 f'(x)=-e-kx(kx-2)(x+1)(k<0).
令f'(x)=0,解得:x=-1或x=
2
k

當(dāng)k=-2時(shí),f'(x)=2e2x(x+1)2≥0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞).…(3分)
當(dāng)-2<k<0時(shí),f(x),f'(x)隨x的變化情況如下:
x (-∞,
2
k
)
2
k
(
2
k
,-1)
-1 (-1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,
2
k
)
和(-1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(
2
k
,-1)
.…(5分)
當(dāng)k<-2時(shí),f(x),f'(x)隨x的變化情況如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,
2
k
)
2
k
(
2
k
,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1)和(
2
k
,+∞)
,單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,
2
k
)
.…(7分)
(Ⅱ)當(dāng)k=-1時(shí),f(x)的極大值等于3e-2.理由如下:
當(dāng)k=-2時(shí),f(x)無(wú)極大值.
當(dāng)-2<k<0時(shí),f(x)的極大值為f(
2
k
)=e-2(
4
k2
+
1
k
)
,…(8分)
e-2(
4
k2
+
1
k
)=3e-2
,即
4
k2
+
1
k
=3
,解得 k=-1或k=
4
3
(舍).…(9分)
當(dāng)k<-2時(shí),f(x)的極大值為f(-1)=-
ek
k
.…(10分)
因?yàn)?nbsp;ek<e-2,0<-
1
k
1
2
,所以 -
ek
k
1
2
e-2

因?yàn)?nbsp;
1
2
e-2<3e-2
,所以 f(x)的極大值不可能等于3e-2
綜上所述,當(dāng)k=-1時(shí),f(x)的極大值等于3e-2.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的極值,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,合理分類(lèi)是關(guān)鍵.
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i
1+i
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3
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6
3
6
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