【題目】【2014課標(biāo)全國,文12】已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值范圍是( ).

A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

答案C

解析當(dāng)a=0時,f(x)=-3x2+1存在兩個零點(diǎn),不合題意;

當(dāng)a>0時,f′(x)=3ax2-6x=,

令f′(x)=0,得x1=0,

所以f(x)在x=0處取得極大值f(0)=1,在處取得極小值

要使f(x)有唯一的零點(diǎn),需,但這時零點(diǎn)x0一定小于0,不合題意;

當(dāng)a<0時,f′(x)=3ax2-6x=,

令f′(x)=0,得x1=0,,這時f(x)在x=0處取得極大值f(0)=1,在處取得極小值,

要使f(x)有唯一零點(diǎn),應(yīng)滿足,解得a<-2(a>2舍去),且這時零點(diǎn)x0一定大于0,滿足題意,故a的取值范圍是(-∞,-2).

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周銷售量(單位:噸)

2

3

4

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20

50

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