Question

對于函數(shù)f（x），若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b（a＜b），使得當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“M函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)：①f（x）=x+1  ②f（x）=-x²+1  ③f（x）=2^x-2  ④f（x）=

x

-

1

8

其中所有“M函數(shù)”的序號為

②③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)定義域求出值域，然后尋找其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]的a與b的值，即可判定．

解答：解：（1）①f（x）=x+1，當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[a+1，b+1]，找不到滿足條件的a與b，根據(jù)定義可知f（x）=x+1不是“M函數(shù)”；
②f（x）=-x²+1，當x∈[0，1]時，f（x）的值域是[0，1]，根據(jù)定義可知f（x）=-x²+1是“M函數(shù)”；
③f（x）=2^x-2，由于它在R上是增函數(shù)，當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[2^a-2，2^b-2]，
由2^a-2=a，2^b-2=b，得2^a=a+2，2^b=b+2，
∵函數(shù)y=2^x與y=x+2有兩個交點，
根據(jù)定義可知f（x）=2^x-2是“M函數(shù)”；
④f（x）=

x

-

1

8

，由于它在R上是增函數(shù)，當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[

a

-

1

8

，

b

-

1

8

]，
由a=

a

-

1

8

，b=

b

-

1

8

，得

a

=a+

1

8

，

b

=b+

1

8

，
∵y=

x

與y=x+

1

8

有兩個交點，
根據(jù)定義可知f（x）=

x

-

1

8

是“M函數(shù)”；
綜上，所有“M函數(shù)”的序號為②③④．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的值域問題．對于函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)的解析式有意義的取值范圍，要熟悉基本初等函數(shù)的定義域以及常見函數(shù)的限制條件，求函數(shù)的值域要注意考慮定義域的取值，再根據(jù)函數(shù)的解析式進行判斷該使用何種方法求解值域．屬于中檔題．