Question

經(jīng)市場調查，某商場的一種商品在過去的一個月內（以30天計）銷售價格f（t）（元）與時間t（天）的函數(shù)關系近似滿足f(t)=100(1+

k

t

)（k為正常數(shù)），日銷售量g（t）（件）與時間t（天）的函數(shù)關系近似滿足g（t）=125-|t-25|，且第25天的銷售金額為13000元．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）試寫出該商品的日銷售金額w（t）關于時間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)關系式；
（Ⅲ）該商品的日銷售金額w（t）的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）由第25天的銷售金額為13000元，我們易得f（25）•g（25）=13000，將f(t)=100(1+

k

t

)、g（t）=125-|t-25|代入易得K值．
（2）由（1）的結論，將K代入f(t)=100(1+

k

t

)、g（t）=125-|t-25|，即可得到商品的日銷售金額w（t）關于時間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)關系式；
（3）由（2）的結論，判斷函數(shù)的單調性不難判斷函數(shù)的最小值，即該商品的日銷售金額w（t）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得f（25）•g（25）=13000，
即100(1+

k

25

)•125=13000，解得k=1
（Ⅱ）w(t)=f(t)•g(t)=100(1+

1

t

)(125-|t-25|)
=

100(t+ 100 t +101) 100(149+ 150 t -t)

(1≤t＜25，t∈N) (25≤t≤30，t∈N)

（Ⅲ）①當1≤t＜25時，因為t+

100

t

≥20，
所以當t=10時，w（t）有最小值12100
②當25≤t≤30時，∵

150

t

-t在[25，30]上遞減，
∴當t=30時，w（t）有最小值12400
∵12100＜12400，∴當t=10時，
該商品的日銷售金額w（t）取得最小值為12100

點評：函數(shù)的實際應用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解�！�還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．