Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F(xiàn)分別是線段AB．BC的中點．
（Ⅰ）證明：PF⊥FD；
（Ⅱ）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD？若存在，請找出點G的位置并加以說明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接AF，證明DF⊥平面PAF，即可證明PF⊥FD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系．因為PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，確定平面PFD的法向量、平面PFD的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角A-PD-F的余弦值；
（Ⅲ）解法1：利用向量法，求出平面PFD的法向量，利用，可得結(jié)論；
解法2：幾何法，利用面面平行，可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：連接AF，則，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，∴DF⊥AF．
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF
∵PF?平面PAF，
∴DF⊥PF．-----------------------（5分）
（Ⅱ）解：因為四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，則如圖建立空間直角坐標系．
因為PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，所以PA=AB=1，
以A（0，0，0），B（1，0，0），F(xiàn)（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
所以，
設(shè)平面PFD的法向量為，
由得，
令x=1，解得：y=1，z=2，所以．
又因為AB⊥平面PAD，所以是平面PAD的法向量，易得，
所以．
由圖知，所求二面角A-PD-F的余弦值為．---------------------------------（10分）
（Ⅲ）解法1：在棱PA上存在點G，使得EG∥平面PFD．
設(shè)點P（0，0，a），G（0，0，b），則，
因為，則．
設(shè)平面PFD的法向量為，
由得，
令x=1，解得：，所以．
令得，即，
所以．
從而滿足的點G為所求．---------------------------------------------（14分）
解法2：過點E作EH∥FD交AD于點H，則．
再過點H作HG∥DP交PA于點G，則，
∴平面EHG∥平面PFD，∴EG∥PFD．
從而滿足的點G為所求．-----------------------------（14分）
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查線面平行，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．