Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，左、右焦點分別為F₁、F₂，拋物線y2=4

2

x的焦點F恰好是該橢圓的一個頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓M：x2+y2=

2

3

的切線l與橢圓相交于A、B兩點，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求出定點的坐標(biāo)；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由離心率為

2

2

得

c

a

=

2

2

，由拋物線y2=4

2

x的焦點F(

2

，0)是該橢圓的一個頂點，得a=

2

，進(jìn)而可得c，由a²=b²+c²可求b；
（2）先求得直線l的斜率不存在及斜率為0時圓的方程，由此可得兩圓所過公共點為原點O，當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理、向量數(shù)量積可得

OA

•

OB

的表達(dá)式，再根據(jù)線圓相切可得k，m的關(guān)系式，代入上述表達(dá)式可求得

OA

•

OB

=0，由此可得結(jié)論；

解答：解：（1）因為橢圓C的離心率e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

，即a=

2

c．
因為拋物線y2=4

2

x的焦點F(

2

，0)恰好是該橢圓的一個頂點，
所以a=

2

，所以c=1，b=

a2-c2

=1．
所以橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）（i）當(dāng)直線l的斜率不存在時，
因為直線l與圓M相切，故其中的一條切線方程為x=

6

3

．
由

x= 6 3 x2 2 +y2=1

，可得A(

6

3

，

6

3

)，B(

6

3

，-

6

3

)，
則以AB為直徑的圓的方程為(x-

6

3

)2+y2=

2

3

．
（ii）當(dāng)直線l的斜率為零時，
因為直線l與圓M相切，所以其中的一條切線方程為y=-

6

3

．
由

y=- 6 3 x2 2 +y2=1

，可得A(

6

3

，-

6

3

)，B(-

6

3

，-

6

3

)，
則以AB為直徑的圓的方程為x2+(y+

6

3

)2=

2

3

．
顯然以上兩圓都經(jīng)過點O（0，0）．
（iii）當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m．
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

．
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

2k2+1

．
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

3m2-2k2-2

2k2+1

①，
因為直線l和圓M相切，
所以圓心到直線l的距離d=

|m|

1+k2

=

6

3

，整理，得m2=

2

3

(1+k2)，②
將②代入①，得

OA

•

OB

=0，顯然以AB為直徑的圓經(jīng)過定點O（0，0），
綜上可知，以AB為直徑的圓過定點（0，0）．

點評：本題考查橢圓的方程、圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運算，考查學(xué)生解決問題的能力．