Question

已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{a_n}滿足：a1=2，an+1=

2(n+2)

n+1

an，n∈N*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

an+1

n+2

=2•

an

n+1

，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求

an

n+1

，進(jìn)而可求a_n
（2）由題意可得，S_n=2•2⁰+3•2¹+4•2²+…+（n+1）•2^n-1，利用錯(cuò)位相減可求

解答：解：（1）∵a1=2，an+1=

2(n+2)

n+1

an，n∈N*
∴

an+1

n+2

=2•

an

n+1

∴數(shù)列{

an

n+1

}是以2為公比以

a1

2

=1為首項(xiàng)的等比數(shù)列
∴

an

n+1

=2n-1
∴an=(n+1)•2n-1
（2）∴S_n=2•2⁰+3•2¹+4•2²+…+（n+1）•2^n-1
   2S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ
兩式相減可得，-S_n=2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ
=2+

2(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n
=2+2ⁿ-2-（n+1）•2ⁿ
=-n•2ⁿ
∴Sn=n•2n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用是數(shù)列求和的重點(diǎn)與難點(diǎn)．