Question

如圖，在平行四邊形中，，，為線段的中線，將△沿直線翻折成△，使平面⊥平面，為線段的中點(diǎn).

（１）求證：∥平面；

（２）設(shè)為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：取A′D的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，CE，由條件易知

FG∥CD，F(xiàn)G=CD.

BE∥CD,BE=CD.

所以FG∥BE,FG=BE.

故四邊形BEGF為平行四邊形,

所以BF∥EG

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052201512995312018/SYS201205220153312500762875_DA.files/image003.png">平面，BF平面

所以 BF//平面

（2）解：在平行四邊形,ABCD中，設(shè)BC=a

則AB=CD=2a,  AD=AE=EB=a,

連CE，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052201512995312018/SYS201205220153312500762875_DA.files/image005.png">

在△BCE中，可得CE=a,

在△ADE中，可得DE=a,

在△CDE中，因?yàn)镃D²=CE²+DE²，所以CE⊥DE,

在正三角形A′DE中，M為DE中點(diǎn)，所以A′M⊥DE.

由平面A′DE⊥平面BCD,

可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.

取A′E的中點(diǎn)N，連線NM、NF，

所以NF⊥DE,NF⊥A′M.

因?yàn)镈E交A′M于M,

所以NF⊥平面A′DE,

則∠FMN為直線FM與平面A′DE新成角.

在Rt△FMN中，NF=a, MN=a, FM=a,

則cos=.

所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為

【解析】略