【題目】如圖,在四棱錐中,底面是梯形,且,點(diǎn)是線段的中點(diǎn),過的平面交平面,且,,且,.

1)求證:;

2)求直線與平面所成角的余弦值.

【答案】1)證明見解析(2

【解析】

1)先證明四邊形是平行四邊形,可得,則可證明平面,再利用線面平行的性質(zhì)定理證明;

2)先證明,兩兩垂直,則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出,再求出平面的一個(gè)法向量,可得直線與平面所成角的正弦值,進(jìn)一步求解余弦值.

1)證明:因?yàn)?/span>,所以四邊形是平行四邊形,所以,

平面,平面,所以平面平面,

平面平面

所以;

2)在中,因?yàn)?/span>,

所以由正弦定理,即

所以,∴,∴在

所以,

因?yàn)?/span>是等腰三角形,且,點(diǎn)是線段的中點(diǎn),

,,,

中,,中點(diǎn),所以,

又由已知,故平面,

平面,所以

中,由,,可知,

易知四邊形為平行四邊形,所以

,,兩兩垂直;

所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

,,,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,,所以,

,令,解得,,

所以為平面的一個(gè)法向量,

因?yàn)?/span>,設(shè)直線與平面所成的角為

,

,

故直線與平面所成角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)展開式的系數(shù)規(guī)律,去掉所有為1的項(xiàng),依次構(gòu)成2,3,3,4,6,4,5,1010,5,6…,則此數(shù)列的前50項(xiàng)和為(

A.2025B.3052C.3053D.3049

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【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為,點(diǎn)M的極坐標(biāo)為,若直線l過點(diǎn)P,且傾斜角為,圓CM為圓心,1為半徑.

1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程.

2)設(shè)直線l與圓C相交于AB兩點(diǎn),求.

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【題目】某公司甲、乙兩個(gè)班組分別試生產(chǎn)同一種規(guī)格的產(chǎn)品,已知此種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)檢測(cè)分?jǐn)?shù)不小于70時(shí),該產(chǎn)品為合格品,否則為次品,現(xiàn)隨機(jī)抽取兩個(gè)班組生產(chǎn)的此種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測(cè),其結(jié)果如下表:

質(zhì)量指標(biāo)檢測(cè)分?jǐn)?shù)

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)

7

18

40

29

6

乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)

8

12

40

32

8

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計(jì)甲、乙兩個(gè)班組生產(chǎn)該種產(chǎn)品各自的不合格率;

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為該種產(chǎn)品的質(zhì)量與生產(chǎn)產(chǎn)品的班組有關(guān)?

甲班組

乙班組

合計(jì)

合格品

次品

合計(jì)

(3)若按合格與不合格比例,從甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取4件產(chǎn)品,從乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取5件產(chǎn)品,記事件A:從上面4件甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,且都是合格品;事件B:從上面5件乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,一件是合格品,一件是次品,試估計(jì)這兩個(gè)事件哪一種情況發(fā)生的可能性大.

附:

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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【題目】已知復(fù)數(shù)集合 ,其中為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)所形成圖形的面積為________

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【題目】已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線相切.

1)求圓的方程;

2)若直線與圓相交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得過點(diǎn)的直線l垂直平分弦AB?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知表1和表2是某年部分日期的天安門廣場(chǎng)升旗時(shí)刻表.

表1:某年部分日期的天安門廣場(chǎng)升旗時(shí)刻表

日期

升旗時(shí)刻

日期

升旗時(shí)刻

日期

升旗時(shí)刻

日期

升旗時(shí)刻

1月1日

7:36

4月9日

5:46

7月9日

4:53

10月8日

6:17

1月21日

7:31

4月28日

5:19

7月27日

5:07

10月26日

6:36

2月10日

7:14

5月16日

4:59

8月14日

5:24

11月13日

6:56

3月2日

6:47

6月3日

4:47

9月2日

5:42

12月1日

7:16

3月22日

6:15

6月22日

4:46

9月20日

5:59

12月20日

7:31

表2:某年2月部分日期的天安門廣場(chǎng)升旗時(shí)刻表

日期

升旗時(shí)刻

日期

升旗時(shí)刻

日期

升旗時(shí)刻

2月1日

7:23

2月11日

7:13

2月21日

6:59

2月3日

7:22

2月13日

7:11

2月23日

6:57

2月5日

7:20

2月15日

7:08

2月25日

6:55

2月7日

7:17

2月17日

7:05

2月27日

6:52

2月9日

7:15/p>

2月19日

7:02

2月28日

6:49

(1)從表1的日期中隨機(jī)選出一天,試估計(jì)這一天的升旗時(shí)刻早于7:00的概率;

(2)甲,乙二人各自從表2的日期中隨機(jī)選擇一天觀看升旗,且兩人的選擇相互獨(dú)立.記為這兩人中觀看升旗的時(shí)刻早于7:00的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望

(3)將表1和表2中的升旗時(shí)刻化為分?jǐn)?shù)后作為樣本數(shù)據(jù)(如7:31化為).記表2中所有升旗時(shí)刻對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為,表1和表2中所有升旗時(shí)刻對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為,判斷的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論)

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【題目】多面體,,,,,,,在平面上的射影是線段的中點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)若,求二面角的余弦值.

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【題目】“開門大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲節(jié)目,選手面對(duì)1號(hào)8扇大門,依次按響門上的門鈴,門鈴會(huì)播放一段音樂(將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹),選手需正確回答出這首歌的名字,方可獲得該扇門對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金,在一次場(chǎng)外調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分為兩個(gè)年齡段: (單位:歲),其猜對(duì)歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示.

(Ⅰ)寫出列聯(lián)表;判斷是否有的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱是否與年齡有關(guān);說明你的理由;(如表的臨界值表供參考)

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

(Ⅱ)現(xiàn)計(jì)劃在這次場(chǎng)外調(diào)查中按年齡段用分層抽樣的方法選取6名選手,并抽取3名幸運(yùn)選手,求3名幸運(yùn)選手中恰好有一人在歲之間的概率. 

(參考公式: ,其中

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