Question

【題目】如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E、F分別在A1B1、C1D1上，A1E=D1F=4，過點(diǎn)E,F的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形。

（1）（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說出畫法和理由）；
（2）（Ⅱ）求直線AF與平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】
（1）

交線圍成的正方形EHGF如圖;

（2）

【解答】作EMAB,垂足為M，則AM=A1E=4，EM=AA1=8，因?yàn)镋HGF為正方形，所以EH=EF=BC=10,于是MH=，所以AH=10，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(10，0，0),H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(xiàn)（0,4,8），=(10，0，0)，=(0，-6,8)，設(shè)=（x，y，z）是平面EHGF的法向量，則,即,所以可取=（0,4,3）。又=(-10，4，8),故|cos,|=，所以直線AF與平面所成角的正弦值為

【解析】根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)畫平面與長方體的面的交線；由交線的位置可確定公共點(diǎn)的位置，坐標(biāo)法是求解空間角問題時(shí)常用的方法，但因其計(jì)算量大的特點(diǎn)很容易出錯(cuò)，故坐標(biāo)系的選擇是很重要的，便于用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，先求出面的法向量，利用sin=|cos,|求直線AF與平面所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的性質(zhì)和空間角的異面直線所成的角，掌握一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則即可以解答此題．