Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，A（0，-1）為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，右焦點(diǎn)F₂到直線x-y+2

2

=0的距離為3，且∠F₁PF₂為銳角，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先確定橢圓的方程，再設(shè)p（x，y），根據(jù)橢圓方程求得兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)∠F₁PF₂為銳角，則cos∠F₁PF₂＞0，由此列不等式解得P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答： 解：∵右焦點(diǎn)F₂到直線x-y+2

2

=0的距離為3，
∴

|c+2 2 |

2

=3（c＞0），
∴c=

2

，
∵b=1，
∴a=

3

，
設(shè)P（x，y），則

PF1

=（x+

2

，y），

PF2

=（x-

2

，y），
∵∠F₁PF₂為銳角，
∴cos∠F₁PF₂＞0
∴（x+

2

，y）•（x-

2

，y）＞0  
即x²+y²-2＞0 
又

x2

3

+y²=1，
∴

2

3

x²＞1，解得x＜-

6

2

或x＞

6

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何意義，解題時(shí)要能熟練的由橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解焦點(diǎn)三角形問題