【題目】已知函數(shù)fx)=(x1ex+ax2aR).

1)若ae,求函數(shù)fx)在點(diǎn)(1,f1))處的切線方程;

2)討論函數(shù)fx)的單調(diào)性.

【答案】13exy2e02)①當(dāng)a≥0時, yfx)在(﹣0)上為減函數(shù),在(0,+∞)上為增函數(shù);

②當(dāng)yfx (﹣,ln(﹣2a)),(0+∞)上為增函數(shù),在(ln(﹣2a),0)上為減函數(shù);

③若時,yfx)在上為單調(diào)遞增的;

④若時,yfx)在(﹣,0),(ln(﹣2a),+∞)上為增函數(shù),在(0,ln(﹣2a)) 上為減函數(shù).

【解析】

1)由aefx)=(x1ex+ex2.再xex+2ex,分別求得,f1),用點(diǎn)斜式寫出切線方程.

2)根據(jù)xex+2a),分a≥0, , ,四種情況分類討論.

1)∵ae

fx)=(x1ex+ex2

xex+2ex,

3e,f1)=e

ye3ex1),

所以切線方程是3exy2e0;

2)∵xex+2a

①若a≥0時,ex+2a0

當(dāng)時,,

當(dāng)時,

所以yfx)在(﹣,0)上為減函數(shù),在(0,+∞)上為增函數(shù);

②若時,ln(﹣2a)<0,

當(dāng)xln(﹣2a)或x0,0,

當(dāng)ln(﹣2a)<x0時,0,

yfx (﹣ln(﹣2a)),(0+∞)上為增函數(shù),在(ln(﹣2a),0)上為減函數(shù);

③若時,ln(﹣2a=00成立,所以yfx)在上為單調(diào)遞增的;

④若時,ln(﹣2a)>0

當(dāng)xln(﹣2a)或x0時,0

當(dāng)0xln(﹣2a)時,0,

yfx)在(﹣0),(ln(﹣2a),+∞)上為增函數(shù),在(0,ln(﹣2a)) 上為減函數(shù).

綜上:①若a≥0時, yfx)在(﹣,0)上為減函數(shù),在(0,+∞)上為增函數(shù);

②若時, yfx (﹣,ln(﹣2a)),(0,+∞)上為增函數(shù),在(ln(﹣2a),0)上為減函數(shù);

③若時, yfx)在上為單調(diào)遞增的;

④若時,yfx)在(﹣0),(ln(﹣2a),+∞)上為增函數(shù),在(0,ln(﹣2a)) 上為減函數(shù).

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參考數(shù)據(jù): ,

,.

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