Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，若關于的方程有唯一實數(shù)解，試求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有兩個極值點，，且不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）對函數(shù)求導，求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得在點的切線方程；（2）原方程等價于，對求導得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間,可知當時，；當時，,結(jié)合單調(diào)性可得到實數(shù)的取值范圍；（3）對函數(shù)求導，可得，恒成立恒成立，將用替換，并構造函數(shù)，對求導可求得函數(shù)在上的最小值，即可知道實數(shù)的取值范圍.

(1)當時，有,

，

,

過點的切線方程為，即.

（2）當時，有，其定義域為，

從而方程,可化為，令，

則，

由或,

在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且，

又當時，；當時，,

關于的方程有唯一實數(shù)解，所以實數(shù)的取值范圍是或.

（3）的定義域為，

令,

又因為函數(shù)有兩個極值點，

有兩個不等實數(shù)根，

，且，

從而,

由不等式恒成立恒成立，

，

令,，

當時恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，故實數(shù)的取值范圍是.