【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點為，上頂點為，，點在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）動直線l與橢圓相交于、兩點，與軸相交于點，與軸的正半軸相交于點，為線段的中點，若為定值，請判斷直線l是否過定點，求實數(shù)的值，并說明理由.

【答案】（1）；（2）直線l過定點，，理由見解析.

【解析】

（1）設(shè)點的坐標(biāo)為.由，可得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，把點代入，求出，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題意可設(shè)直線的方程為，，則.由，消去，韋達(dá)定理可得.由，可得為定值，故，即求，即得直線l過定點.

（1）設(shè)點的坐標(biāo)為.

由，，，，可得，.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點在橢圓上，

，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，

設(shè)，則.

由，消去，整理可得，

則，.

由，

可得.

，

，

，.

，，

，

若為定值，則必有，

解得，，，.

故直線 過定點，.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）若不等式至少有一個負(fù)數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】在抗擊新冠肺炎的疫情中，某醫(yī)院從3位女醫(yī)生，5位男醫(yī)生中選出4人參加援鄂醫(yī)療隊，至少有一位女醫(yī)生入選，其中女醫(yī)生甲和男醫(yī)生乙不能同時參加，則不同的選法共有種______（用數(shù)字填寫答案）.

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（1）求的方程；

（2）設(shè)是上一點，直線與直線相交于點，與直線相交于點，證明：當(dāng)點在上移動時，為定值，并求此定值．

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【題目】下面給出有關(guān)的四個論斷：①；②；③或；④.以其中的三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：若______，則_______（用序號表示）并給出證明過程：

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點，且離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線的斜率為，直線與橢圓交于、兩點，求的面積的最大值.

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【題目】如圖所示，某區(qū)有一塊空地，其中，，.當(dāng)?shù)貐^(qū)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設(shè)兒童游樂場.為安全起見，需在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).

（1）當(dāng)時，求防護(hù)網(wǎng)的總長度；

（2）若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍，試確定的大�。�

（3）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設(shè)計施工方案，可使的面積最��？最小面積是多少？

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【題目】某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似的表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸．

（1）求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；

（2）若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

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