Question

在長方體AC′中，AB=AC=a，BB′=b（b＞a），連接BC′，過點(diǎn)B′作B′E⊥BC′交CC′于E．
（1）求證：AC′⊥平面EB′D′；
（2）求三棱錐C′-B′D′E的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證AC′⊥平面EB′D′，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC′與平面EB′D′內(nèi)兩相交直線垂直，而AC′⊥B′D′，AC′⊥B′E，滿足定理?xiàng)l件；
（2）要求三棱錐C′-B′D′E的體積，可轉(zhuǎn)化成求三棱錐E-B′D′C'的體積，根據(jù)B′E⊥BC′求出EC'，根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．

解答：（1）證明：由題意，長方體底面為正方形，
A′C′⊥B′D′，AC′⊥B′D′，
又∵B′E⊥BC′，
∴AC′⊥B′E，
∴AC′⊥平面EB′D′
（2）解：由∠B′C′B=∠B′EC′，又EC′=

a

tan∠B′EC′

=

a2

b

.
∴VC′-B′D′E=VE-B′C′D′=

1

3

×

1

2

a2×

a2

b

=

a4

6b

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．